Koordinat Sistemleri

Kutupsal Koordinat Sistemi Nedir

Matematikte kutupsal koordinat sistemi veya polar koordinat sistemi, noktaların birer açı ve Kartezyen koordinat sistemindeki orijinin eşdeğeri olup “kutup” olarak bilinen bir merkez noktaya olan uzaklıklar ile tanımlandığı, iki boyutlu bir koordinat sistemidir. Kutupsal koordinat sistemi, matematik, fizik, mühendislik, denizcilik, robot teknolojisi gibi birçok alanda kullanılır. Bu sistem, iki nokta arasındaki ilişkinin açı ve uzaklık ile daha kolay ifade edilebildiği durumlar için özellikle kullanışlıdır. Kartezyen koordinat sisteminde, böyle bir ilişki ancak trigonometrik formüller ile bulunabilir. Kutupsal denklemler, çoğu eğri tipi için en kolay, bazıları içinse yegâne tanımlama yöntemidir.

Tarihçesi

Antik Yunan uygarlığı’nda açı ve yarıçap kavramlarının kullanıldığı bilinmektedir. Gök bilimci Hiparkus (MÖ 190 – 120), her açı için kiriş uzunluklarını veren bir kiriş fonksiyonları tablosu oluşturmuştur ve yıldızların konumlarını belirlemek için kutupsal koordinatlar kullandığına ilişkin kaynaklar bulunmaktadır.[1] “Spiraller Üzerine” (On Spirals) adlı eserinde Arşimet, ünlü spiralini yarıçapın açıya bağlı olduğu bir fonksiyon olarak tanımlar. Bununla beraber, Yunan çalışmaları, koordinat sistemini tam olarak tanımlayamamıştır.

Kutupsal koordinatları resmî bir koordinat sisteminin parçası olarak ilk olarak kimin tanımladığına ilişkin farklı söylemler vardır. Konunun tarihçesi, Harvard profesörü Julian Lowell Coolidge’in “Kutupsal Koordinatların Kaynağı” (Origin of Polar Coordinates) adlı kitabında anlatılmıştır.[2][3] Grégoire de Saint-Vincent ve Bonaventura Cavalieri yaklaşık aynı zamanda birbirinden bağımsız olarak kavramları oluşturmaya başlamıştır. Saint-Vincent, çalışmalarını 1625 yılında yazmış ve 1647 yılında yayınlamışken, Cavalieri de 1635 yılında kendi çalışmalarının ilk baskısını yapıp, 1653 yılında elden geçirilmiş bir sürümünü yayınlamıştır. Bir Arşimet spirali içindeki alanla ilgili bir problemin çözümünde kutupsal koordinat sisteminden ilk yararlanan Cavalieri olmuştur. Daha sonra Blaise Pascal, parabolik yayların uzunluğunu hesaplamak için kutupsal koordinatları kullanmıştır. www.turkeyarena.com

1671 yılında yazılmış ve 1736 yılında basılmış olan Method of Fluxions çalışmasıyla Isaac Newton, kutupsal koordinatlara bir düzlemdeki herhangi bir noktanın yerini saptama yöntemi olarak bakan ilk kişi olmuştur. Newton, kutupsal koordinatlar ve diğer dokuz koordinat sistemi arasındaki dönüşümleri incelemiştir. Acta eruditorum (1691) adlı çalışmasında Jacob Bernoulli, sırasıyla kutup ve kutupsal eksen olarak adlandırdığı bir nokta ve o noktanın üzerinde yer aldığı eksenden oluşan bir sistem kullanmıştır. Bu sistemde koordinatlar, kutba göre uzaklık ve kutup eksenine göre açı ile belirtilmiştir. Bernoulli’nin çalışması, bu koordinatlarla tanımlanmış eğrilerin eğim yarıçaplarını hesaplamaya kadar ilerlemiştir. Gregorio Fontana’ya atfedilmiş olan kutupsal koordinatlar terimi, 18. yüzyıl İtalyan yazarları tarafından kullanılmıştır. Terimin İngilizce yayınlarda ilk yer alışı, George Peacock’ın Sylvestre François Lacroix’ya ait “Diferansiyel ve İntegral Hesaplamalar” (Differential and Integral Calculus) adlı kitabını çevirmesi ile 1816 yılında olmuştur.[4][5][6] Alexis Clairaut ve Leonhard Euler, kutupsal koordinat kavramının üç boyuta uyarlanmasında rol oynamışlardır.

Kutupsal koordinatlar ile noktaların belirtilmesi

 (3, 60°) ve (4, 210°) noktaları

Tüm iki boyutlu koordinat sistemlerinde olduğu gibi, kutupsal koordinat sisteminde de iki koordinat vardır: r (“radyal koordinat” ya da “ışınsal koordinat”) ve θ (“açısal koordinat”, “kutupsal açı” ya da “yatay açı” ; bazen φ veya t ile gösterilir). r koordinatı, kutuptan olan ışınsal uzaklığı; θ koordinatı ise noktanın üzerinde bulunduğu ışının, bazen “kutupsal eksen” de denilen 0° ışınından saat yönünün tersi yönündeki açısını ifade eder. 0° ışını, Kartezyen koordinat sisteminde “pozitif x ekseni” olarak bilinir.[7] Örneğin, kutupsal koordinatları (3, 60°) olan bir nokta, kutupsal eksene 60° açı ile duran ışın üzerinde kutuptan 3 birim uzaklıkta bulunur. Koordinatları (−3, 240°) olan nokta da aynı yerde gösterilecektir çünkü bir negatif ışınsal uzaklık, karşıt ışın üzerinde pozitif uzaklık olarak ölçülür (240° − 180° = 60°).

Kutupsal koordinat sisteminin Kartezyen koordinat sisteminde bulunmayan bir önemli özelliği, belli bir noktanın sonsuz sayıda farklı koordinat ile belirtilebilmesidir. Genel olarak, n herhangi bir tam sayı olmak üzere, herhangi bir (r, θ) noktası (r, θ ± n×360°) veya (−r, θ ± (2n + 1)180°) olarak gösterilebilir.[8] Eğer bir noktanın r koordinatı 0 ise, o nokta θ koordinatından bağımsız olarak kutup üzerinde bulunur.

Radyan ölçüsünün kullanımı

Kutupsal sistemde açılar, genel olarak ya derece ya da radyan cinsinden ifade edilir ve bunun için de 2π rad = 360° dönüşümü kullanılır. Seçim çoğunlukla ihtiyaca bağlıdır. Denizcilik uygulamalarında derece ölçüsü kullanılırken, özellikle dönüş mekaniği gibi bazı fizik uygulamalarında ise dairenin çevresinin (c) yarıçapına (r) oranına dayanan radyan ölçüsü kullanılır (c = 2πr).[9]

Kutupsal ve kartezyen koordinatlar arası dönüşüm

 Kutupsal koordinatlar r ve θ, kartezyen koordinatlara şu şekilde dönüştürülebilir.   Bu iki formüle göre x ve y cinsinden elde edilen dönüşüm formülleri ise şöyledir:

 Eğer x = 0 ve y pozitifse, θ = 90° (π/2 rad); y negatifse, θ = 270° (3π/2 rad) olur.

Kutupsal denklemler

Kutupsal koordinatlar ile ifade edilmiş bir eğri denklemi “kutupsal denklem” olarak bilinir ve genellikle r, θ’nın bir fonksiyonu olarak yazılır.

Kutupsal denklemler değişik simetri biçimleri gösterebilir. Bir eğri,

– eğer r(−θ) = r(θ) ise 0°/180° yatay ışınına göre,

– eğer r(π−θ) = r(θ) ise 90°/270° dikey ışınına göre ve

– eğer r(θ−α) = r(θ) ise saat yönünün tersinde, rotasyonel (dönel) olarak kutup noktasına göre α° kadar simetrik olacaktır.

r(θ) = 1 denklemi ile verilmiş çember

Çember Merkezi

(r0, φ) noktasında ve yarıçapı a olan herhangi bir çemberin genel denklemi şu şekildedir: Bu denklem özel durumlar için çeşitli yollarla basitleştirilebilir. Örneğin , merkezi kutup noktasında ve yarıçapı a olan çember için yazılmış denklemdir.[12] Doğru Kutuptan geçen ışınsal doğrular şu denklemle gösterilir: Burada φ, doğrunun eğim açısıdır ve m‘nin Kartezyen koordinat sistemindeki eğimi temsil ettiği denklemi ile de ifade edilebilir. Kutup noktasından geçmeyen herhangi bir doğru, ışınsal bir doğruya diktir.[13] θ = φ doğrusunu (r0, φ) noktasında dik kesen doğrunun denklemi ise şöyledir: . r(θ) = 2 sin 4θ denklemi ile verilmiş kutupsal gül şekli. http://www.turkeyarena.com Kutupsal gül Kutupsal gül, taç yapraklı bir çiçeği andıran ve sadece kutupsal bir denklem ile ifade edilebilen ünlü bir matematiksel eğridir. Şu denklemlerle tanımlanır: veya a değişkeninin gülün yapraklarının uzunluğunu ifade ettiği bu denklemlerde eğer k bir tamsayı ise, k tek sayı olduğunda bu denklemler ile k-yapraklı bir gül ve çift sayı olduğundaysa 2k-yapraklı bir gül elde edilir. Eğer ktam sayı değilse, yaprak sayısı da tamsayı olmayacağı için, bir daire şekli oluşur. Dikkat edilmesi gereken nokta, bu denklemlerle 4′ün katlarının 2 fazlası (2, 6, 10, 14, …) kadar sayıda taç yaprak elde etmenin mümkün olmadığıdır. 0 < θ < 6π için r(θ) = θ denklemi ile verilmiş Arşimet spiralinin bir kolu. Arşimet spirali Arşimet spirali, Arşimet tarafından keşfedilmiş ve gene yalnızca bir kutupsal denklem ile tanımlanabilen, ünlü bir spiraldir. Şu denklemle ifade edilir: . a değişkeninin değişimi spirali döndürürken, b değişkeni spiralin kolları arasındaki daima sabit olan uzaklığı kontrol eder. Arşimet spirali, θ > 0 ve θ < 0 değerleri için iki kola sahiptir. İki kol kutup noktasında birbirine düzgün biçimde bağlanır. Kollardan birinin 90°/270° doğrusu üzerinden ayna simetrisi alınırsa, diğer kol elde edilir. Konik kesitler Semi-latus rectum mesafesinin gösterildiği bir elips Büyük ekseni kutupsal eksen (0° ışını) üzerinde, bir odağı kutup noktasında ve diğer odağı da kutupsal eksen üzerindeki başka bir noktada bulunan bir konik kesit şu kutupsal denklem ile tanımlanır: . Burada e eksantriklik ve l de (semi-latus rectum) büyük eksene dik olarak bir odaktan eğriye kadar ölçülen uzaklıktır. Denklem; e > 1 ise bir hiperbol, e = 1 ise bir parabol ve e < 1 ise bir elips oluşturur. e < 1 koşulunun özel bir durumu olarak e = 0 ise, yarıçapı l olan bir çember elde edilir.

www.matematikbilgileri.com / Mehmet Duman’a tesekkur ederiz.

Hakkında Cumhur Şamiloğlu
Civil Eng., MRICS Management of International Business (MSc-2002)

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: